Sử dụng tam thức bậc 2 .
A Nội dung
Cơ sở của phương pháp là biến đổi BĐT ở giả thiết về dạng có chứa


Để xét dấu tam thức bậc hai
, ta thường viết nó dưới dạng:
 


 Nếu:

 Nếu:

Trương hợp này

 Nếu:

Trong trường hợp này

Tóm lại, việc sử dụng các định lý thuận và đảo của tam thức bậc hai, xử lý điều kiện tồn tại nghiệm của biệt thức tỏ ra tiện lợi khi chứng minh một BĐT mà nó đã được nhận dạng.
Ở đây ta nhắc lại các tính chất sau để tiện sử dụng:
1/

2/

3/

4/

B Bài tập thí dụ
Bài 1: Cho x, y là hai số thực, CMR : [ct[
3y^2  + x^2  + 2xy + 2x + 6y + 3 ge 0
[/ct]
Bg :
Có thể xem VT là một tam thức bậc hai của x


Ta có :



Vậy Cho mọi x,y: [ct[
3y^2  + x^2  + 2xy + 2x + 6y + 3 ge 0
[/ct]
 
Bài 2: Cho a, b, c là các số thực thoả mãn:
. CMR


Bg:
Thay .
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với


Để chứng minh (2) ta xét tam thức bậc hai:


Bài 3: Cho 2n số thực bất kì
. CMR


Dấu đẳng thức xảy ra khi:


(BĐT BunhiaCopski)
Bg:
Ta có, với mọi số thực x đều có:


Từ đó đa thức:

 Nếu
 thì hiển nhiên BĐT đã cho đúng.
 Nếu
 thì f(x) là một tam thức bậc hai của x. Do
 nên


Vậy BĐT đã cho được CM hoàn toàn.
 
C Bài tập tự luyện
 
Bài 1: CMR nếu a, b, c, d là các số thực thoả mãn: a+d=b+c và m là số không âm thoả mãn
 thì ta có BĐT:  
 thoả mãn với mọi x.
Bài 2: CMR BĐT

Bài 3: Giả sử A, B, C là ba góc của một tam giác không cân tại C. Biết rằng phương trình


Có đúng 1 nghiệm thực. CMR góc B nhở hơn 60